Tags

, , , ,

BEBERAPA SIFAT  SUBMODUL

SUPERFLUOUS  DAN ESSENTIAL

 DARI SUATU MODUL KANAN

 

disampaikan oleh HENRY W. M. PATTY

Dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika Universitas Pattimura Ambon 

ABSTRACT

Definition of superfluous and essential submodule motivated by direct sum properties in a submodule. Based on these submodule concept, given some properties that dual each other. One of these properties in connection with superfluous epimorphism and essential monomorphism. In this paper, is known radical of module and complement submodule. This research found a radical of module  is sum of every superfluous submodule in  whereas the direct summand of two complement submodule is essential submodule in .

          Keywords: submodule, superfluous, essential, radical, complement.

PENDAHULUAN

          Dalam aljabar linier dikenal suatu struktur yang merupakan generalisasi dari ruang vektor. Struktur tersebut dikenal dengan nama modul atau sering disebut R-modul. Hal ini berarti modul dapat dipandang sebagai ruang vektor atas suatu ring R dengan pergandaan skalar yang berasal dari ring tersebut dan bukan lapangan. Seperti halnya dalam ruang vektor, dalam modul jika suatu subhimpunan tak kosong dari suatu modul M katakanlah K, terhadap operasi yang sama di M merupakan modul atas ring R maka K disebut submodul dari M yang dinotasikan dengan .

          Selanjutnya, suatu submodul  merupakan jumlahan langsung (direct summand) jika terdapat suatu submodul  yang memenuhi  dan .  Artinya, untuk setiap submodul  berlaku  dan . Kondisi ini, memotivasi pendefinisian submodul superfluous dan essential di suatu modul M.

          Dalam tulisan ini akan dibahas beberapa sifat submodul superfluous dan essential pada suatu modul kanan atas ring R dengan terlebih dahulu mengetahui beberapa definisi ataupun sifat dasar diantaranya submodul maksimal, radikal dan  jumlah langsung yang dapat dilihat dalam [1]. Selanjutnya dalam [2] dan [3] diberikan definisi beberapa sifat submodul superfluous dan essential tersebut.

BAHASAN  UTAMA

          Pada bagian ini akan dibahas beberapa sifat submodul superfluous dan essential dari suatu modul kanan atas ring R (dinotasikan ) dengan asumsi yang analog untuk suatu modul kiri atas ring R (dinotasikan)

Definisi 1. [2]  Suatu submodul  disebut submodul superfluous di (dinotasikan ) jika untuk sebarang submodul yang memenuhi maka berlaku . Dengan kata lain  submodul dari  disebut submodul superfluous di  jika , untuk setiap submodul sejati  dalam .

Contoh 2

  1. Modul  sebagai -modul tidak mempunyai submodul superfluous yang tak nol.
  2. Modul  sebagai -modul, merupakan submodul superfluous di  sebagai -modul.

Jika  submodul maksimal dalam  maka  memuat semua submodul superfluous di . Dengan kata lain  jika  bukan submodul maksimal di maka untuk sebarang submodul  yang memenuhi  akan diperoleh sehingga timbul kontradiksi dengan kemaksimalan .

Selanjutnya, dalam hubungannya dengan submodul superfluous, suatu epimorfisma  didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3. [2] Suatu epimorfisma disebut superfluous jika .

          Berikut ini diberikan suatu sifat dalam submodul superfluous dalam hubungannya dengan epimorfisma superfluous.

Proposisi 4. [2] Untuk suatu submodul , beberapa pernyataan berikut ini ekuivalen.

(a)     .

(b)     Suatu pemetaan natural  adalah epimorfisma superfluous.

(c)      Untuk setiap modul  dan setiap , jika maka .

Dalam teori modul, radikal dari sebuah modul kanan  diartikan sebagai irisan dari semua submodul maksimal seperti dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi 5. [3]  Untuk sebarang modul kanan , radikal dari modul kanan (dinotasikan ) adalah irisan dari semua submodul maksimal dalam .

          Jika  dibangun secara hingga atas R maka menurut Lemma Zorn selalu terdapat submodul maksimal sehingga berlaku [1]. Sedangkan untuk modul  yang tidak dibangun secara hingga maka tidak terdapat suatu submodul maksimal sehingga .

          Dalam kaitannya dengan submodul superfluous, radikal dari suatu modul kanan  dapat dipandang sebagai jumlah semua submodul superfluous di , seperti dijelaskan dalam proposisi berikut ini.

Proposisi 6. [2]  Jika modul kanan dan terdapat submodul superfluous di maka merupakan jumlah semua submodul superfluous di .

          Berikut ini didefinisikan suatu submodul essential di suatu modul kanan .

Definisi 7. [3]  Suatu modul kanan  dengan , disebut perluasan essential dari jika setiap submodul tak nol dari  yang beririsan dengan  bersifat nontrivial artinya  atau dengan kata lain untuk sebarang submodul  yang memenuhi maka berlaku . Jika modul  adalah perluasan essential maka disebut submodul essential di   dan dinotasikan .

Contoh 8.

  1. Setiap submodul yang tidak nol dari suatu modul  merupakan submodul essential.
  2.  sebagai -modul merupakan submodul essential di  namun irisan dari  yaitu  bukan submodul essential di .

          Selanjutnya, dalam hubungannya dengan submodul essential, suatu monomorfisma  didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 9. [2]  Suatu monomorfisma disebut essential jika .

          Suatu submodul essential merupakan dual dari submodul superfluous ataupun sebaliknya. Mengacu pada proposisi 4, berikut ini diberikan suatu sifat dalam submodul essential yang menjelaskan pernyataan dualitas tersebut.

Proposisi 10. [2] Untuk suatu submodul , beberapa pernyataan berikut ini ekuivalen.

(a)     .

(b)     Suatu pemetaan inklusi  merupakan monomorfisma essential.

(d)     Untuk setiap modul  dan setiap , jika  maka .

 

Selanjutnya, eksistensi suatu submodul essential dapat diselidiki dengan menggunakan proposisi berikut ini.

Proposisi 11. [2] Suatu submodul jika dan hanya jika untuk setiap  terdapat  sedemikian sehingga .

          Berikut didefinisikan komplemen submodul yang mendasari jumlah langsung dari suatu modul kanan.

Definisi 12. [3]  Diberikan suatu submodul . Suatu submodul disebut komplemen dengan  di  (dinotasikan) jika  merupakan submodul maksimal yang memenuhi .

Contoh 13.

  1. Misalkan   maka  dikatakan komplemen dengan .
    1. Misalkan  maka hanya submodulyang merupakan komplemen dengan .

          Selanjutnya,  jumlahan langsung dari dua submodul yang saling komplemen dalam suatu modul  merupakan submodul essential di , seperti dijelaskan dalam proposisi berikut ini.

Proposisi 14. [3] Diberikan suatu submodul dan  adalah suatu submodul di sedemikian sehingga .  adalah komplemen dengan   jika dan hanya jika .

KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas maka disimpulkan beberapa sifat dari submodul superfluous dan essential dari suatu modul kanan  sebagai berikut

  1. Salah satu syarat cukup dan perlu suatu submodul  merupakan submodul superfluous di  adalah terdapat suatu epimorfisma yang superfluous dari  dan jika maka berlaku  untuk setiap modul  dengan .
  2. Salah satu syarat cukup dan perlu suatu submodul  merupakan submodul essential di  adalah terdapat suatu inklusi  yang merupakan monomorfisma essential dan jika  maka berlaku  untuk setiap modul  dengan .
  3. Eksistensi submodul essential dapat diselidiki dengan suatu sifat bahwa:  suatu submodul  merupakan submodul essential di   jika dan hanya jika untuk setiap  terdapat  sedemikian sehingga
  4. Jumlahan langsung dari dua submodul yang saling komplemen dalam suatu modul  merupakan submodul essential di ,

SARAN

Penilitian ini masih dapat dilanjutkan dengan menyelidiki sifat-sifat submodul superfluous dan essential yang mendasari karakterisasi ring nonsingular kanan.

DAFTAR PUSTAKA

[1]   D.S. Malik, J. M. Mordeson and M.K. Sen, “Fundamental of Abstract Algebra” . Singapore: McGraw-Hill Companies, 1997.

[2]   F.W. Anderson dan K. R. Fuller, “Ring and Categories of Modules”, Springer Verlag, New York, 1992.

[3]   T. Y. Lam, “Lecture On Modules and Rings”, Springer Verlag, New York. 99.